なぜそうなるのかは分からないけど

今日、ある推移するデータの統計を取っていて面白いことに気が付いた。

仮にa,b,c,d,e,f,g,....という数値でデータが推移していたとすれば
その増減はb-a, c-b, d-c, e-d, f-e, g-f,....となる。
で、この増減の増減、例えて言うならデータ推移の加速度に注目すると
c-2b+a, d-2c+b, e-2d+c, f-2e+d, g-2f+e,....のようになる。
で、更にこの加速度の増減を取ってみると
d-3c+3b-a, e-3d+3c-b, f-3e+3d-c,......のようになるので、更にその増減を興味本位で注目してみたら
e-4d+6c-4b+a, f-4e+6d-4c+b,....のようになったのだ。

最初の数値の推移を時間の関数と考えれば、その増減はその関数を時間で微分したものと大雑把に見做すことができるし、その増減は二次微分、さらにその増減は三次微分と見做してよいと思われる。

で、何が面白いかというと、これらの結果が(x-y)をn乗した時の係数と一致することだ。n=1の時はx-yだしn=2の時はx^2+2xy+y^2、n=3の時はx^3-3x^2y+3xy^2-y^3、n=4ではx^4-4x^3y+6x^2y^2-4xy^3+y^4となるからだ。

興味深い現象なので時間がある時にでも何故そうなるのか考えてみたいと思った。