Derivative

数学に関する英単語を勉強しているうちに、derivativeに出くわしたので
ふとx^nの導関数がnx^(n-1)になる理由を自力で証明できるか確認してみたくなった。

もう色々な公式はスッカリ忘れているので、本当にscratchから始めねばならん。
でも、導関数は増分を限りなく小さくした時のその点での接線の傾きであることから、((x+h)^n-x^n)/h　においてhを限りなく0に近づけた結果がnx^(n-1)になることを証明すれば良いはず。
それにしても(x+h)^nを展開するのは事実上不可能だし、、、うーん、どうしたもんだっけと悩む。展開した第一項がx^nになることは当然として、第 二項がnhx^(n-1)になるだろうことは経験的に予測できるから、経験的予測、、、、そうだ数学的帰納法を使ってみようと思い付く。

n=1の時は　((x+h)^n-x^n)/h=((x+h)-x)/h=1 で nx^(n-1)=x^0=1 だから成立
n=kの時に　hを0に近づけた場合((x+h)^k-x^k)/h=kx^(k-1) が成立すると仮定して
n=k+1の時を考える。
((x+h)^(k+1)-x^(k+1))/h=(x(x+h)^k+h(x+h)^k-x*x^k)/h
ここでn=kの場合の仮定が利用できるように変形すると、x*((x+h)^k-x^k)/h+(x+h)^k
ここで((x+h)^k-x^k)/h=kx^(k-1)を代入して
x*kx^(k-1)+(x+h)^k=kx^k+(x+h)^k
さらにhは0に限りなく近くなるから
kx^k+x^k
よって(k+1)x^kとなり成立し証明完了。目標を達成できてスッキリした。

それにしても今日もデンマークと全く関係ない内容か、、、、
うーん。あ、そうだ。今日は散歩がてらHalloweenモードになっているTivoliをぶらぶらした。駅側入口に近い横丁で売っているchurroはいつも揚げ立てで美味しいのでオススメ。